วิทยาศาสตร์เป็นวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับความจริงที่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยกระบวนการทางวิทยาศาสตร์ นำความรู้ที่ได้จากการศึกษาทดลอง จดบัทึกมารวบรวมเป็นกฎ ทฤษฎี เพื่อเป็นความรู้ในการอธิบายปรากฎการณ์ต่างๆ ที่เกิดขึ้น ซึ่งการศึกษาวิทยาศาสร์เป็นการศึกษา2 ส่วนคือ เชิงคุณภาพ เป็นการศึกษาบรรยายเชิงข้อมูลพรรณนา ตามสภาพการรับรู้ของมนุษย์ เช่น การบรรยายรูปลักษณะ สี กลิ่น รส และเชิงปริมาณ เป็นการศึกษาข้อมูลเชิงตัวเลข ซึ่งได้จากการสังเกต และเครื่องมือวัด เช่น ความยาว มวล เวลา ปริมาณต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับวิชาฟิสิกส์แบ่งออกได้เป็น
ปริมาณในทางฟิสิกส์ มี 2 ปริมาณ คือ
1. ปริมาณสเกลาร์ (Scalar) เป็นปริมาณที่บอกขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น มวล , อัตราเร็ว , พลังงาน ฯลฯ
2. ปริมาณเวกเตอร์ (Vector) เป็นปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็ว , ความเร่ง , การกระจัด , แรง ฯลฯ
1. การรวมเวกเตอร์
การรวมเวกเตอร์ หมายถึง การบวกหรือลบกันของเวกเตอร์ตั้งแต่ 2 เวกเตอร์ ขึ้นไป ผลลัพธ์ที่ได้เป็นปริมาณเวกเตอร์ เรียกว่า เวกเตอร์ลัพธ์ (Resultant Vector) ซึ่งพิจารณาได้ ดังนี้
1.1 การบวกเวกเตอร์โดยวิธีการเขียนรูป ทำได้โดยเขียนเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้ง จากนั้นเอาหางของเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกหรือผลต่าง มาต่อกับหัวของเวกเตอร์ตัวตั้ง โดยเขียนให้ถูกต้องทั้งขนาดและทิศทาง เวกเตอร์ลัพธ์หาได้โดยการวัดระยะทาง จากหางเวกเตอร์แรกไปยังหัวเวกเตอร์สุดท้าย
จากรูป เวกเตอร ์=
1.2 การบวกเวกเตอร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์
ให้ เวกเตอร์ทำมุมกับเป็นมุม q คำนวณหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้ ดังนี้
ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์คำนวณได้จากกฎของโคไซน์
ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์หาได้จาก
a =
หรือหาได้จากกฎของไซน์ ดังนี้
ข้อสังเกต จากสมการที่ (1) พบว่า
เมื่อ q =(คือและอยู่ในทิศทางเดียวกัน) จะได้ขนาดของ=
โดยทิศทางของมีทิศเดียวกับและเมื่อ q =
2.1 ถ้า>จะได้=-และมีทิศเดียวกับ
2.2 ถ้า<จะได้=-และมีทิศเดียวกับ
3. เมื่อ q =
ขนาด R =
1.3 การลบเวกเตอร์
การลบเวกเตอร์ สามารถหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้เช่นเดียวกับการบวกเวกเตอร์ แต่ให้กลับทิศทางของเวกเตอร์ตัวลบ ดังนี้
2. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย หมายถึง เวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วยในทิศทางใดๆ เช่น เวกเตอร์สามารถเขียนได้ด้วยขนาดของคูณกับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย
=
หรือ=.....................................................(5)
โดยคือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีขนาดหนึ่งหน่วยและทิศเดียวกันกับ
ในระบบแกนมุมฉาก เวกเตอร์หนึ่งหน่วยบนแกน x , y และ z แทนด้วยสัญลักษณ์,และตามลำดับ จะได้
=
เมื่อคือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับมีทิศทางตามแนวแกน x
คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับมีทิศทางตามแนวแกน y
คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับมีทิศทางตามแนวแกน z
3. เวกเตอร์องค์ประกอบ (Component Vector)
3.1 องค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 2 มิติ
ถ้าอยู่ในระนาบ x , y โดยทำมุม q กับแกน x
องค์ประกอบของตามแกน x คือ
องค์ประกอบของตามแกน y คือโดย= Asinq
ดังนั้น เวกเตอร์เขียนแยกเป็นองค์ประกอบได้ ดังนี้
=
หรือ
= Acosq+ Asinq
โดยที่ ขนาดของ
=
3.2 องค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 3 มิติ
กำหนดให้อยู่บนระนาบ x , y ,z โดยเวกเตอร์ทำมุมกับแกน x , y , z เป็นมุม q x , q y , q z
ตามลำดับ เวกเตอร์สามารถแยกเป็นองค์ประกอบตามแกน x , y , z ได้ ดังนี้
ขนาดของแทนด้วย Ax = Acosq x โดยที่ cosq x =
ขนาดของแทนด้วย Ay = Acosq y โดยที่ cosq y =
ขนาดของแทนด้วย Az = Acosq z โดยที่ cosq z =
ดังนั้น=
=
ขนาดคือ
A =
ทิศทางของเวกเตอร์คือ มุมที่ทำกับแกน x , y , z หาได้จาก
4. เวกเตอร์ตำแหน่ง (Position Vector)
เวกเตอร์ตำแหน่ง หมายถึง เวกเตอร์ที่บอกตำแหน่งของวัตถุเทียบกับจุดใดจุดหนึ่ง เรียกว่า จุดอ้างอิง
จากรูป เวกเตอร์และเป็นเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุด P และ Q เทียบกับจุด O ในระบบพิกัด โดย
จะได้
โดยขนาดของ
ทิศทางของหาได้จาก
5. การคูณเวกเตอร์ มี 2 แบบ ดังนี้
5.1 ผลคูณสเกลาร์ (Scalar product หรือ dot product แทนด้วยเครื่องหมาย " . " )
กำหนดให้ทำมุมกับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทั้งสองมีนิยาม ดังนี้
โดยที่ A และ B เป็นขนาดของเวกเตอร์และตามลำดับ
คือ มุมระหว่างเวกเตอร์ A กับ B
คุณสมบัติของผลคูณแบบสเกลาร์
ถ้า,,เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ,,เป็น unit vector ในแนวแกน x , y ,z จะได้ว่า
คุณสมบัติของผลคูณแบบสเกลาร์
ถ้า,,เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ,,เป็น unit vector ในแนวแกน x , y , z จะได้ว่า
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
โดยที่
ผลคูณเวกเตอร์ (Vector Product หรือ Cross Product แทนด้วยเครื่องหมาย “x” )
กำหนดให้และเป็นเวกเตอร์ที่ทำมุม q ต่อกัน และเป็นเวกเตอร์ลัพธ์ โดย
ขนาดของมีนิยามว่า
ทิศทางของหาได้โดยใช้กฎมือขวา โดยปลายนิ้วทั้งสี่แทนทิศทางของและหมุนไปหาจะได้นิ้วหัวแม่มือแทนทิศทางของ
คุณสมบัติของผลคูณแบบเวกเตอร์
1.
2.
3.
4.
5.
หรือเขียนในรูปของดีเทอร์มิแนนท์ (Determinant) ได้ว่า
โดยที่
6. การหาอนุพันธ์ของเวกเตอร์
ถ้าเวกเตอร์,และเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ U ดังนั้น จะได้
1.
2.
3.
4.
5.
เลขนัยสำคัญ คือ ตัวเลขที่ได้จากการวัดโดยใช้เครื่องมือที่เป็นสเกล โดยเลขทุกตัวที่บันทึกจะมีความหมายส่วนความสำคัญของตัวเลขจะไม่เท่ากัน ดังนั้นเลขทุกตัวจึงมีนัยสำคัญ ตามความเหมาะสม เช่น วัดความยาวของไม้ท่อนหนึ่งได้ยาว 121.54 เซนติเมตร เลข 121.5 เป็นตัวเลขที่วัดได้จริง ส่วน 0.04 เป็นตัวเลขที่ประมาณขึ้นมา เราเรียกตัวเลข121.54 นี้ว่า เลขนัยสำคัญ และมีจำนวนเลขนัยสำคัญ 5 ตัว
หลักการพิจารณาจำนวนเลขนัยสำคัญ
เลขทุกตัว ถือเป็นเลขที่มีนัยสำคัญ ยกเว้น
1. เลข 0 ( ศูนย์ ) ที่อยู่ซ้ายมือสุดหน้าตัวเลข เช่น
0.1 มีเลขนัยสำคัญ 1 ตัว
0.01 มีเลขนัยสำคัญ 1 ตัว
0.0152 มีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
2. เลข 0 ( ศูนย์ ) ที่อยู่ระหว่างตัวเลขถือเป็นเลขนัยสำคัญ เช่น
101 มีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
1.002 มีเลขนัยสำคัญ 4 ตัว
3. เลข 0 ( ศูนย์ ) ที่อยู่ท้ายแต่อยู่ในรูปเลขทศนิยม ถือว่าเป็นเลขนัยสำคัญ เช่น
1.20 มีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
2.400 มีเลขนัยสำคัญ 4 ตัว
4. เลข 0 ( ศูนย์ ) ที่ต่อท้ายเลขจำนวนเต็ม ถ้าจะนับเป็นเลขนัยต้องทำเครื่องหมายบอก เช่น
120 มีเลขนัยสำคัญ 2 ตัว
120 มีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
200 มีเลขนัยสำคัญ 1 ตัว
200 มีเลขนัยสำคัญ 2 ตัว
200 มีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
5. เลข 10 ที่อยู่ในรูปยกกำลัง ไม่เป็นเลขนัยสำคัญ เช่น
1.30 x104 มีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
2.501 x106 มีเลขนัยสำคัญ 4 ตัว
การบวกและการลบเลขนัยสำคัญ
ให้บวกลบข้อมูลตามปกติ แล้วเมื่อได้ผลลัพธ์ให้บันทึกโดยมีจำนวนตำแหน่งทศนิยมเท่ากับตำแหน่งทศนิยมของข้อมูลหลักที่มีจำนวนตำแหน่งทศนิยมน้อยที่สุด เช่น
1. 2.12 + 3.895 + 5.4236 = 11.4386
ปริมาณ 2.12 มีความละเอียดถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 2
3.895 มีความละเอียดถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 3
5.4236 มีความละเอียดถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 4
ผลลัพธ์ 11.4386 มีความละเอียดถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 4 ซึ่งมากกว่าเครื่องมือวัดที่อ่านได้ 2.12 , 3.895
ดังนั้นผลลัพธ์ต้องมีเลขนัยสำคัญมีความละเอียดไม่เกินทศนิยมตำแหน่งที่ 2
ดังนั้น ผลลัพธ์ คือ 11.44
การคูณและการหารเลขนัย
ให้คูณ-หารข้อมูลตามปกติ แล้วเมื่อได้ผลลัพธ์ให้บันทึก โดยมีจำนวนค่านัยสำคัญเท่าจำนวนค่านัยสำคัญของข้อมูลหลักที่มีจำนวนค่านัยสำคัญน้อยที่สุด เช่น