ในการพิจารณาว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใดนั้น สามารถทำได้ 2 วิธี ได้แก่
1. ทำการทดลองสุ่มนั้นซ้ำๆ กัน เป็นจำนวนอนันต์ (Infinity)
ซึ่งจะสมมติให้ N แทน จำนวนครั้งของการทดลองสุ่ม
n แทน จำนวนครั้งของการเกิดเหตุการณ์ E ที่สนใจ
และ P(E) แทน ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ E ที่สนใจ
พบว่า อัตราส่วน n/N จะบอกให้ทราบว่าเหตุการณ์ E ที่สนใจ มีดอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด
ดังนั้น P(E)= limit ของ n/N เมื่อ N เข้าสู่ infinity
ซึ่งเราจะพบว่า จำนวนครั้งที่ทำการทดลองสุ่มยิ่งมากเท่าใด ก็จะได้ความน่าจะเป็นที่น่าเชื่อถือมากยิ่งขึ้นเท่านั้น
2. ใช้วิธีการหาความน่าจะเป็นโดยการคำนวณจากแซมเปิลสเปซและเหตุการณ์ที่สนใจของการทดลองสุ่มนั้น โดยหาอัตราส่วนระหว่างจำนวนสมาชิกของเหตุการณี่สนใจกับจำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซ โดยแซมเปิลสเปซที่ใช้ในการคำนวณจะต้องเป็นเซตจำกัดและประกอบด้วยสมาชิกที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ข้อกำหนด n(S) แทน จำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซ S ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน
n(E) แทน จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ซึ่งเป็นสับเซตของ S
และ P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E
ดังนั้น P(E) = n(E) / n(S)
หมายเหตุ ข้อกำหนดนี้ ใช้คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จาดแซมเปิลสเปซที่เป็นเซตจำกัด และสมาชิกแต่ละตัว มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน
ในอีกทางหนึ่ง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำนวนที่บิกให้ทราบว่าตุการณ์ที่เราสนใจมีดอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด กล่าวคือ
ถ้า P(E) = 0 เหตุการณ์ E จะไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย
P(E) = 1 เหตุการณ์ E มีโอกาสเกิดขึ้นแน่นอน
P(E) = 0.5 เหตุการณ์ E จะมีโอกาสเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน
P(E1) = 0.4 และ P(E2) = 0.8 เหตุการณ์ E2 มีโอกาสเกิดขึ้นมากกว่าเหตุการณ์ E1
นั่นแสดงว่า P(E) มีค่าตั้งแต่ 0-1
ตัวอย่างที่ 1 ในการหยิบไพ่มา 1 ใบ จากไพ่ 1 สำรับ ซึ่งมี 52 ใบ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไพ่ใบนั้นเป็นโพดำ
วิธีทำ สมมติให้ E แทน เหตุการณ์ที่ได้ไพ่ใบนั้นเป็นโพดำ
และ S แทน แซมเปิลสเปซ
จะได้ n(E) = 13
และ n(S) = 52
จากสูตร P(E) = n(E) / n(S)
จะได้ P(E) = 13 / 52
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้ไพ่ใบนั้นเป็นโพดำเท่ากับ 13/52
ตัวอย่างที่ 2 ครอบครัวหนึ่งมีลูกสองคน จงหาความน่าจะเป็นของครอบครัวนั้น ถ้า
1. ลูกคนแรกเป็นหญิง และลูกคนที่สองเป็นชาย
2. ไม่มีลูกชายเลย
3. มีลูกชายมากกว่า 1 คน
4. มีลูกสาวอย่างน้อย 1 คน
5. มีลูกชาย 1 คน และลูกสาว 1 คน
6. มีลูกชาย 3 คน
วิธีทำ
สมมติให้ E1 แทน เหตุการณ์ที่มีลูกคนแรกเป็นหญิง และลูกคนที่สองเป็นชาย
E2 แทน เหตุการณ์ที่ไม่มีลูกชายเลย
E3 แทน เหตุการณ์ที่มีลูกชายมากกว่า 1 คน
E4 แทน เหตุการณ์ที่มีลูกสาวอย่างน้อย 1 คน
E5 แทน เหตุการณ์ที่มีลูกชาย 1 คน และลูกสาว 1 คน
E6 แทน เหตุการณ์ที่มีลูกชาย 3 คน
และ S แทน แซมเปิลสเปซ
จากโจทย์ จะได้ S = { (M, M), (M, W), (W, W), (W, M) }
แสดงว่า n(S) = 4
1. E1 = { (W, M) }
จะได้ n(E1) = 1
ดังนั้น P(E1) = 1/4 2. E2 = { (W, W) }
จะได้ n(E2) = 1
ดังนั้น P(E2) = 1/4
3. E3 = { (M, M) }
จะได้ n(E3) = 1
ดังนั้น P(E3) = 1/4
4. E4 = { (M, W), (W, M), (W, W) }
จะได้ n(E4) = 3
ดังนั้น P(E4) = 3/4
5. E5 = { (M, W), (W, M) }
จะได้ n(E5) = 2
ดังนั้น P(E5) = 2/4
6.
E6 ไม่มี
แสดงว่า ไม่มีโอกาสเกิดเหตุการณ์แบบนี้ขึ้นเลย
จะได้ n(E6) = 0
ดังนั้น P(E6) = 0
การใช้วิธีเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่ในการหาความน่าจะเป็น
ตัวอย่างที่ 3 ถ้าหยิบลูกหิน
3 ลูกจากกล่องที่มีลุกหินสีน้ำเงิน 4 ลูก และสีแดง 7 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกหินสีน้ำเงิน 3 ลูก
วิธีทำ
1. การหยิบลูกหิน 3 ลุก จากหินทั้งหมด 11 ลูก จะสามารถทำได้ C(11, 3) = 165 วิธี
แสดงว่า n(S) = 165
2. การหยิบลูกหิน 3 ลูก แล้วหยิบได้ลูกหินสีน้ำเงิน 3 ลูก สามารถทำได้ C(4, 3) = 4 วิธี
แสดงว่า n(E) = 4
จากสูตร จะได้ P(E) = 4 / 165
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกหินสีน้ำเงิน 3 ลูก เท่ากับ 4/165
ตัวอย่างที่ 4 มีตัวเลขอยู่ 8 จำนวน เป็นเลขคู่บวก 3 จำนวน จำนวนคี่บวก 3 จำนวน จำนวนคี่ลบ 1 จำนวน จำนวนคู่ลบอีก 1 จำนวน ถ้าสุ่มตัวเลขจำนวนดังกล่าวมา 4 จำนวน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลคูณของเลขทั้งสี่จำนวนมีค่าน้อยกว่า 0 และเป็นเลขคี่
วิธีทำ
1. ทำการสุ่มตัวเลข 4 จำนวน จากเลขทั้งหมด 8 จำนวน จะสามารถทำได้ C(8, 4) = 70 วิธี
แสดงว่า n(S) = 70
2. การที่จะให้ได้ผลคูณของตัวเลขทั้งสี่จำนวนนั้นเป็นเลขที่มีค่าน้อยกว่า 0 และเป็นเลขคี่ จะต้องเลือกเลขบวก ซึ่งเป็นจำนวนคี่ 3 จำนวน และเลขลบซึ่งเป็นจำนวนคี่ 1 จำนวน สามารถทำได้ C(3, 3) . C(1, 1) = 1 . 1 = 1 วิธี
แสดงว่า n(E) = 1
จากสูตร จะได้ P(E) = 1/ 70
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ผลคูณของเลขทั้งสี่จำนวนมีค่าน้อยกว่า 0 และเป็นเลขคี่ เท่ากับ 1/70
ตัวอย่างที่ 5 เรือนรับรองหลังหนึ่งมี 3 ห้องนอน ห้องหนึ่งพักได้ 3 คน ส่วนอีก 2 ห้อง พักได้ห้องละ 2 คน ถ้ามีแขก 7 คน เป็นหญิง 3 คน ชาย 4 คน
จะเดินทางมาพักโดยไม่ระบุเพศให้ทราบล่วงหน้า จงหาความน่าจะเป็นที่จะจัดให้หญิงทั้ง 3 คน พักห้องเดียวกัน
วิธีทำ
1. การจัดคน 7 คน เข้าห้องพัก สามารถทำได้ 7! / 3! . 2! . 2! = 210 วิธี
แสดงว่า n(S) = 210
2. การจัดให้หญิง 3 คน ได้พักห้องเดียวกัน มีขั้นตอนดังนี้
ขั้นที่ 1 เลือกห้องนอนที่หญิง 3 คน พักด้วยกัน สามารถทำได้ C(1, 1) = 1 วิธี
ขั้นที่ 2 การจัดผู้ชาย 4 คน เข้าห้องนอนที่เหลือ 2 ห้อง สามารถทำได้ C(4, 2) = 6 วิธี
แสดงว่า n(E) = 1 . 6 = 6
จากสูตร จะได้ P(E) = 6 / 210
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะจัดให้หญิง 3 คน ได้พักห้องเดียวกันเท่ากับ 1/35
ตัวอย่างที่ 6 เอกับบี สลับกันโยนลูกเต๋าครั้งละสองลูก ใครโยนได้ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองเท่ากับ 7 ก่อน จะเป็นผู้ชนะ ถ้าเอเป็นคนเริ่มโดยนก่อน จงหาความน่าจะเป็นที่เอจะเป็นผู้ชนะ
วิธีทำ
สมมติให้
E แทน
เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองเท่ากับ 7
E’ แทน เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองไม่เท่ากับ 7
และ S แทน แซมเปิลสเปซ
1. การโยนลูกเต๋า 2 ลูก จะเกิดขึ้นได้ 6 . 6 = 36 แบบ
แสดงว่า n(S) = 36
2. ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองเท่ากับ 7
E = { (1, 6), ( 2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) }
แสดงว่า n(E) = 6
จากสูตร จะได้ P(E) = 6/36 = 1/6
และ P(E’) = 1 – P(E) = 1 – (1/6) = 5/6
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เอจะเป็นผู้ขนะ เท่ากับ 5/6
ตัวอย่างที่ 7
ในการลากจุดเชื่อมจุดยอด 2 จุด ใดๆ ของรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่าที่แนบในวงกลม โดยที่เส้นนั้นๆ ไม่ใช่ด้านของรูปสิบเหลี่ยมดังกล่าว จงหาความน่าจะเป็นที่เส้นเชื่อมนั้นไม่ใช่เส้นรอบรุป และไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม
วิธีทำ
สมมติให้
E แทน เหตุการณ์ที่เส้นลากเชื่อมจุดยอด 2 จุดใดๆ ที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม
E’ แทน เหตุการณ์ที่เส้นลากเชื่อมจุดยอด 2 จุดใดๆ ไม่ใช่เส้นรอบรูป และไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม
และ S แทน แซมเปิลสเปซ (เส้นทแยงมุมทั้งหมด)
1. จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่า เท่ากับ C(10, 2) – 10 = 35 เส้น
แสดงว่า n(S) = 35
2. จำนวนเส้นลากเชื่อมจุด 2 จุดใดๆ ที่ผ่านศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับ 5 เส้น
แสดงว่า n(E) = 5
P(E) = 5/35 = 1/7
P(E’) = 1 – P(E) = 6/7
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เส้นเชื่อมนั้นไม่ใช่เส้นรอบรูป และไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับ 6/7